Вправи: 398

398. Основи трапеції дорівнюють 12 см і 22 см. Знайдіть відрізки, на які діагоналі трапеції ділять її середню лінію.

За умовою МК — середня лінія трапеції АВСD. За означенням середньої лінії маємо: М — середина сторони АВ. За теоремою про середню лінію трапеції маємо: МК ∥ ВС, МК ∥ АD. Отже, маємо: АМ = МВ і МР ∥ ВС. За теоремою Фалеса маємо: АР = РС. Звідси маємо: МР — середня лінія ∆АВС. За теоремою про середню лінію трикутника маємо: МР = 12ВС, МР = 12 : 2 = 6 (см).

Аналогічно: NК — середня лінія ∆ВСD. NК = 12ВС, NК = 12 : 2 = 6 (см). За аксіомою вимірювання відрізків маємо: МК = МР + РN + NК, РN = МК – (МР + NК). МК — середня лінія трапеції АВСD. За теоремою про середню лінію трапеції маємо: МК = 12(АD + ВС), МК = (22 + 12) : 2 = 34 : 2 = 17 (см). PN = 17 – (6 + 6) = 17 – 12 = 5 (см).

Відповідь: MP = NK = 6 см, PN = 5 см.