Вправи: 395

395. Доведіть, що середня лінія трапеції ділить її діагоналі навпіл.

За умовою АВ = ВЕ і ВС ∥ DF і АК ∥ DF, отже, ВС ∥ АК. За теоремою Фалеса маємо ЕС = СК. Отже, В — середина сторони АЕ і С — середина сторони ЕК. ВС — середня лінія ∆АЕК. За теоремою про середню лінію трикутника маємо: ВС = 12АК. Нехай ВС = х см тоді АК = 2х (см). За умовою АD = АВ. А — середина сторони DВ. СК = KF, K — середина сторони СF. Отже, за означенням середньої лінії трапеції, AK – середня лінія трапеції DBCF (DF ∥ BC). За теоремою про середню лінію трапеції маємо: АК = 12(ВС + DF). Складемо і розв’яжемо рівняння: 2х = 12 ( х + 15); х + 15 = 2 • 2х; х + 15 = 4х; – 4х = –15; –Зх = –15; х = –15 : (–3); х = 5. Отже, маємо ВС = 5 см, АК = 2 • 5 = 10 (см).

Відповідь: ВС = 5 см, АК = 10 см.