Вправи

Вправи: 365

Готова відповідь до завдання 365 з ГДЗ Геометрія 8 клас Мерзляк.

Геометрія, 8 клас · Вправи

365. На бічних сторонах трапеції, у яку можна вписати коло, як на діаметрах побудовано два кола. Доведіть, що ці кола мають одну — ГДЗ Геометрія 8 клас Мерзляк

Текстова відповідь

365. На бічних сторонах трапеції, у яку можна вписати коло, як на діаметрах побудовано два кола. Доведіть, що ці кола мають одну спільну точку.

Нехай дано трапецію АВСD (ВС ∥ АD, АВ ∦ СD), коло (О; R) — вписане у трапецію, коло (О₁; R₁), коло (O₂; R₂), СD = 2R₂, АВ = 2R₁. Доведемо, що два кола дотикаються. Нехай N, К, М, L — точки дотику вписаного кола у дану трапецію із сторонами трапеції АВСD

тоді МС + LD = 2R₂

ВМ + АL = 2R₁ за властивістю відрізків дотичних.

R₂ = 12(MC + LD), R₁ = 12(BM + AL), R₁ + R₂ = 12(ВС + AD).

O₁O₂ = R₁ + R₂ = 12(ВС + AD), тоді О₁О₂ – середня лінія трапеції, з цього випливає, що існує т. Q, що належить колу (O₁; R₁) і колу

(О₂; R₂). Очевидно, що спільна точка єдина. Отже, Q — точка дотику.