Вправи: 362

362. Поза прямокутним трикутником ABC на його гіпотенузі AB побудовано квадрат ABFD. Доведіть, що ∠ACO = ∠OCB, де O — точка

перетину діагоналей квадрата.

Розглянемо чотирикутник АСВО: ∠АС = 90° (за умовою), ∠AОВ = 90° (AF ⊥ BD як діагоналі квадрата), тоді навколо цього чотирикутника можна описати коло. Оскільки ∠АСВ = ∠АОВ = 90° і вони є вписаними в коло, то АВ — діаметр. ∠АСО = ∠АВО (як кути, вписані у коло і спираються на спільну хорду АО). ∠АВО = 45° (властивість діагоналей квадрата). ∠ОАВ = ∠ОСВ (як кути, вписані у коло і спираються на спільну хорду ВО). ∠ОАВ = 45° (властивість діагоналей квадрата). Тоді ∠АСО = ∠ОСВ = 45°.