Вправи: 303

303. На дузі AC кола, описаного навколо рівностороннього трикутника ABC, позначено точку M так, що ∪AM = 2∪СМ. Знайдіть кути трикутника АМС.

За умовою ∆АВС — рівносторонній. тому ∠АВС = ∠ВАС = ∠АСВ = 60°. ∠ВСА — вписаний кут, який опирається на хорду АВ ∠ВМА — вписаний кут, який опирається на хорду АВ. За наслідком з теореми про вписані кути маємо: ∠ВСА = ∠ВМА = 60°. ∠САМ і ∠СВМ — вписані, які опираються на хорду CM; ∠САМ = ∠СВМ.

∠ВАС і ∠ВМС — вписані, які опираються на хорду ВС; ∠ВАС = ∠ВМС = 60°. За аксіомою вимірювання кутів маємо:

∠АМС = ∠АМВ + ∠ВМС.

∠АМС = 60° + 60° = 120°. Нехай ∪CM = х, тоді ∪AMC = 2х,

∪АМС = ∪AM + ∪MC. ∪AMC = х + 2х = Зх;

∪АМС = 360° – 120° = 240°; 3x = 240; х = 240 : 3; x = 80.

∪СМ = 80°. Розглянемо ∆АМС. За теоремою про суму кутів трикутника маємо: ∠MAC + ∠MCA = 180° – 120° = 60°.

Отже: 3х = 60; х = 60 : 3; х = 20.

∠CAM = 20°, ∠MCA = 2 • 20° = 40°.

Відповідь: 120°, 20°, 40°.