Вправи: 305

305. Коло, побудоване на стороні AC трикутника ABC як на діаметрі,

перетинає сторону AB у точці K так, що ∠ACK = ∠BCK. Доведіть, що трикутник ABC рівнобедрений.

Розглянемо ∆АКС. ∠AKC опирається на діаметр АС. За наслідком з теореми про вписаний кут маємо ∠AKC = 90°, КС ⊥ АВ, КС — висота.

За умовою ∠ACK = ∠BCK. За означенням бісектриси кута маємо КС — бісектриса ∠BCA. За властивістю висоти рівнобедреного трикутника маємо ∆АВС — рівнобедрений (АС = ВС). Доведено.