Вправи: 300

300. Хорди AB і CD кола не перетинаються, а прямі AB і CD

перетинаються в точці M (рис. 100). Доведіть, що ∠AMC = 12 (∪AC – ∪BD).

Виконаємо додаткову побудову: хорду AD. ∠ADC — зовнішній кут ∆ADC. ∠АМС = ∠BMD. За теоремою про зовнішній кут трикутника маємо: ∠ADC = ∠DAM + ∠DMA; ∠BMD = ∠AMD = ∠DMA.

∠АМС = ∠BMD = ∠ADC – ∠MAD = ∠ADC – ∠BAD.

∠ADC і ∠BAD — вписані кути.

За теоремою про вписані кути маємо: ∠ADC = 12∠AOC = 12∪АС;

∠BAD = 12∠BOD = 12∪BD; ∠АМС = 12(∪AC – ∪BD). Доведено.