Вправи: 296

296. Кінці діаметрів AC і BD кола послідовно сполучили так, що

утворився чотирикутник ABCD. 1) Визначте вид чотирикутника ABCD. 2) Знайдіть дуги AB, BC, CD і AD, якщо ∠ABD = 80°.

1) За умовою ВD — діаметр. ∠DAB — вписаний кут, який опирається на діаметр DB. За наслідком з теореми про вписані кути маємо ∠DAB = 90°. Аналогічно ∠BCD опирається на діаметр ВD, ∠BCD = 90°, ∠ADC опирається на діаметр АС, ∠ADC = 90°, ∠АВС опирається на діаметр АС, ∠АВС = 90°. Отже, АВСD — прямокутник.

Відповідь: ABCD — прямокутник.

2) ∪AD = ∠AOD. ∠ABD — вписаний кут, який опирається на хорду АD. За теоремою про вписані кути маємо: ∠АВD = 12∠АОD,

∠АОD = 80° • 2 = 160°; ∪АD = ∠АОD = 160°. За аксіомою про вимірювання кутів маємо: ∠DВС = ∠АВС – ∠АВD,

∠DВС = 90° – 80° = 10°. ∠DВС = 12∠DОС (за теоремою про вписані кути). ∠DОС = 2 • 10° = 20°, ∪DС = ∠DОС = 20°.

Розглянемо ∆DАВ — прямокутний (∠DАВ = 90°). За властивістю гострих кутів прямокутного трикутника маємо: ∠ADB = 90° – 80° = 10°; ∠ADB = 12∠АОВ; ∠AOB = 2 • 10° = 20°, ∪АВ = 20°.

∪АВ + ∪ВС + ∪CD + ∪DА = 360°;

∪BC = 360° – (160° + 20° + 20°) = 360° – 200° = 160°.

Відповідь: 20°, 160°, 20°, 160°.