Вправи: 248

248. Діагоналі рівнобічної трапеції ABCD (AB = CD) перетинаються в точці О. Доведіть, що AO = OD і BO = ОС.

Нехай АВСD — трапеція, ВС ∥ АD, АВ ∦ СD, АВ = СD, АС ∩ BD = т. О. Доведемо, що АО = ОD, ВО = ОС. Розглянемо ∆АВD і ∆DСА.

1) АВ = СD ABCD – рівнобічна.

2) ∠А = ∠D

3) AD – спільна.

Отже, ∆АВD = ∆DСА (за І ознакою рівності трикутників).

З цього випливає, що ∠АВD = ∠DСА. Розглянемо ∆АВО і ∆DСО.

1) АВ = СD. 2) ∠АВО = ∠DСО. 3) ∠ВАО = ∠СDО (так як в цих трикутниках дві пари кутів рівні, ∠ВОА = ∠СОD як вертикальні,

∠ABO = ∠DСО). Отже, ∆АВО = ∆DСО (за II ознакою рівності трикутників), з цього випливає, що ВО = ОС, АО = ОD.