Вправи: 150

150. Доведіть, що діагональ ромба ділить навпіл кут між висотами

ромба, проведеними з тієї самої його вершини, що й діагональ.

За умовою АВСD — ромб. ВD — діагональ ромба. За властивістю діагоналей ромба маємо, що ВD — бісектриса ∠АDС. Звідси маємо: ∠АDВ = ∠СDВ = 12∠АDС.

За умовою ВN — висота (ВN ⊥ АD), ∠ВND = 90° і ВК — висота, ВК ⊥ СD, ∠ВКD = 90°.

Розглянемо ∆ВND і ∆ВKD — прямокутні. 1) ∠ВND = ∠ВКD = 90°;

2) ∠ВDN = ∠ВDК; 3) ВD — спільна сторона. За ознакою рівності прямокутних трикутників маємо: ∆ВND = ∆ВКD. За властивістю рівних фігур маємо: ∠NBD = ∠KBD. Доведено.