Вправи: 147

147. Точки E i F — відповідно середини сторін BC і CD ромба ABCD. Доведіть, що ∠EAC = ∠FAC.

За умовою АВСD — ромб. За властивістю ромба маємо: АВ = ВС = СD = АD. За умовою Е — середина ВС, тоді ВЕ = ЕС. F — середина СD, тоді DF = FС. Отже, маємо: ЕС = FС. За умовою АС — діагональ. За властивістю діагоналей ромба маємо: АС — бісектриса ∠ВСD. Звідси маємо: ∠BCA = ∠DCA = 12∠BCD.

Розглянемо ∆АЕС і ∆АFС. 1) ЕС = FС;

2) ∠АСЕ = ∠АFС; 3) АС — спільна сторона.

За І ознакою рівності трикутників маємо: ∆АЕС = ∆AFC. За властивістю рівних фігур маємо: ∠ЕАС = ∠FАС. Доведено.