Вправи: 145

145. Кути, які сторона ромба утворює з його діагоналями, відносяться як 2:7. Знайдіть кути ромба.

За умовою ABCD — ромб, АС і BD — діагоналі, ∠ОВА : ∠ОАВ = 2 : 7. Нехай ∠ОВА = 2х, ∠ОАВ = 7х. За властивістю діагоналей ромба маємо AC ⊥ BD, отже, ∠АОВ = 90°. Розглянемо ∆АОВ — прямокутний (∠О = 90°). За властивістю гострих кутів прямокутного трикутника маємо: ∠ОАВ + ∠ОВА = 90°. Складемо і розв’яжемо рівняння: 2х + 7х = 90; 9х = 90;

х = 90 : 9; х = 10. Звідси маємо: ∠ОВА = 2 • 10° = 20°, ∠ОАВ = 7 • 10° = 70°.

За властивістю діагоналей ромба маємо: АС — бісектриса ∠BAD і BD — бісектриса ∠АВС. Отже, ∠BAD = 2∠ВАО, ∠BAD = 2 • 70° = 140°, ∠АВС = 2∠АВО, ∠АВС = 2 • 20° = 40°. За властивістю протилежних кутів ромба маємо: ∠АВС = ∠ADC = 40°, ∠BAD = ∠BCD = 140°.

Відповідь: 40°, 140°, 40°, 140°.