Вправи: 13 (1-3)

13. Чи може чотирикутник мати: 1) три прямих кути й один гострий; 2) три прямих кути й один тупий; 3) чотири прямих кути; 4) чотири гострих кути; 5) два прямих і два тупих кути; 6) два прямих кути, один гострий та один тупий? У разі ствердної відповіді нарисуйте такий чотирикутник.

1) Якщо ∠A = ∠B = ∠C = 90°, ∠D < 90° — гострий. За теоремою про

суму кутів чотирикутника маємо ∠A + ∠В + ∠C + ∠D = 360°, тоді

90° + 90° + 90° + ∠D = 360°; 270° + ∠D = 360°;

∠D = 360° – 270° = 90°. Тому ∠D — прямий, він не може бути гострим.

Висновок: не може мати три прямих кута і один гострий.

2) Якщо ∠A = ∠В = ∠С = 90°, ∠D > 90° — тупий. За теоремою про суму кутів чотирикутника маємо ∠A + ∠B + ∠C + ∠D = 360°, тоді

90° + 90° + 90° + ∠D = 360°;

270° + ∠D = 360°; ∠D = 360° – 270° = 90°.

Тому ∠D — прямий і він не може бути тупим. Висновок: не може мати три прямих кута і один тупий.

3) Якщо ∠A = ∠B = ∠С = ∠D = 90°. За теоремою про суму кутів чотирикутника маємо: ∠A + ∠B + ∠C + ∠D = 360°; 90° + 90° + 90° + 90° = 360°; 360° = 360°. Висновок: може мати чотири прямих кути.

4) Якщо ∠A < 90°, ∠B < 90°, ∠C < 90°, ∠D < 90°. За теоремою про суму кутів чотирикутника маємо: ∠A + ∠B + ∠C + ∠D = 360°. Якщо ∠А , ∠B, ∠C, ∠D — гострі, тоді ∠A + ∠B + ∠C + ∠D < 360°.

Висновок: не може мати чотири гострі кути.

5) Якщо ∠А = ∠С = 90°, ∠D > 90°, ∠B > 90°. За теоремою про суму

кутів чотирикутника маємо: ∠A + ∠B + ∠С + ∠D = 360°. Якщо ∠А

і ∠C — прямі, тоді 90° + ∠В + 90° + ∠D = 360°; 180° + ∠В + ∠D = 360°; ∠B + ∠D = 360° – 180°; ∠B + ∠D = 180°. Якщо ∠В і ∠D — тупі, тоді ∠B + ∠D > 180°. Висновок: не може мати два прямі кути і два кутих кути.

6) Якщо ∠A = ∠B = 90°, ∠C < 90°, ∠D > 90°. За теоремою про суму кутів чотирикутника маємо ∠A + ∠B + ∠С + ∠D = 360°; 90° + 90° + ∠C + ∠D = 360°; 180° + ∠C + ∠D = 360°; ∠C + ∠D = 360° – 180°;

∠C + ∠D = 180°. Якщо ∠C — гострий, ∠D — тупий, то їхня сума може дорівнювати 180°. Висновок: може існувати два прямих кути, один гострий і один тупий.