Вправи: 12

12. Знайдіть кути чотирикутника, якщо три його кути пропорційні

числам 4, 5 і 7, а четвертий кут дорівнює їхній півсумі. Чи є цей

чотирикутник опуклим?

Нехай АВСD — чотирикутник, у якому ∠A : ∠B : ∠C = 4 : 5 : 7,

∠D = (∠А + ∠B + ∠С) : 2. Нехай ∠А = 4x, ∠B = 5x, ∠C = 7х, тоді

∠D = (4х + 5х + 7х) : 2. = 8x.

За теоремою про суму кутів чотирикутника маємо ∠A + ∠B + ∠C + ∠D = 360°. Складемо і розв’яжемо рівняння: 4х + 5х + 7х + 8х = 360; 24х = 360; х = 260 : 24; х = 15.

Отже, ∠A = 4 • 15° = 60°, ∠B = 5 • 15° = 75°, ∠C = 7 • 15° = 105°, ∠D = 8 • 15 = 120°. ∠A < 180°, ∠В < 180°, ∠C < 180 °, ∠D < 180°, тому АВСD — опуклий чотирикутник.

Відповідь: 60°, 75°, 105°, 120°; АВСD — опуклий чотирикутник.