Вправи 701 - 800 » 714

714. Доведи, що сума раціонального та ірраціонального чисел завжди є числом ірраціональним. Припустимо, що сума раціонального та ірраціонального чисел є числом раціональним, тоді маємо: якщо х — ірраціональне, то m_1/n_1 + х = m_2/n_2 , де m1, m2 ∈ Z, n1, n2 ∈ Z, отже, х = m_2/n_2 – m_1/n_1 = (m_2 n_1- m_1 n_2)/(n_2 n_1 ), m2n1 – m1n2 ∈ Z, n1n2 ∈ N, тоді x — раціональне, протиріччя умові, отже, припущення не правильне. Сума раціонального та ірраціонального чисел є числом ірраціональним.