Задачі підвищеної складності з геометрії: 34

34. Навколо рівнобедреного трикутника з кутом при вершині

120° і бічною стороною, що дорівнює а см, описано коло. Знайдіть

його радіус.

1) Нехай ∆ABC — рівнобедрений; ∠ACB = 120°; AC = CB = а (см); точка O — центр кола, описаного навколо ∆ABC.2) OC — серединний перпендикуляр до AB, а тому CD — висота ∆ABC.3) ∆ABC — рівнобедрений з основою AB,тому CD є також і бісектрисою;∠OCB = 120°2 = 60°.

4) OC = OB (як радіуси), тому ∆OCB — рівнобедрений і

∠OBC = ∠OCB = 60°.

5) ∠СОВ = 180° – 2 ∙ 60° = 60°.

6) ∆COB — рівносторонній; OC = CB = а см.

Відповідь: а см.