Задачі підвищеної складності з геометрії: 33

33. Відрізок BD — висота гострокутного трикутника ABC. Від

вершини В на прямій BC відкладено відрізки BM і BN, довжини яких дорівнюють довжині сторони AB. На стороні AC від точки D відкладено відрізок DL, що дорівнює DA. Доведіть, що точки А, М, N, L лежать на одному колі.

1) Побудуємо коло із центром у точці В і радіусом BA. Зрозуміло, що точки M і N належать цьому колу (оскільки BA = BN = BM).2) BD є висотою і медіаною ∆BLA, тому ∆BLA — рівнобедрений і BL = BA. Тому точка L також належить побудованому колу.3) Отже, точки А, М, N і L лежать на одному колі, що й треба було довести.