Задачі підвищеної складності з геометрії: 37

37. Нехай r — радіус кола, вписаного в прямокутний трикутник з катетами а і b та гіпотенузою с. Доведіть, що r = а + b - с2.

1) Нехай BC = a; AC = b; AB = с; К; L і М — точки дотику.2) CO — бісектриса кута ACB, тому∠АСО = 90°2 = 45°.3) У ∆KCO: ∆КОС = 90° – 45° = 45°;

∆KCO — рівнобедрений і CK = OK = r.

4) За властивістю відрізків дотичних, проведених з однієї точки,

CL = CK = r.

5) AK = AC – KC = b – r; BL = BC – CL = а – r.

6) Маємо AM = AK = b – r ; BM = BL = а – r.

7) AB = AM + MB; c = b – r + a — r; 2r = a + b – c;

r = a + b - c 2, щo й τpe6a було довести.