Задачі підвищеної складності з геометрії: 12

12. Через вершину тупого кута, градусна міра якого дорівнює а, проведено промені, перпендикулярні до сторін кута. Промені утворили гострий кут β. Доведіть, що α + β = 180°.

Нехай дано тупий ∠AOB = α. OA ⊥ ОС, OB ⊥ OD, ∠COD — гострий, ∠COD = β.1) ∠AOD = ∠AOC – ∠DOC; ∠AOD = 90° – β.2) ∠BOC = ∠DOB – ∠DOC; ∠BOC = 90° – β.

3) ∠AOB = ∠AOD + ∠DOC + ∠COB. Тоді

α = 90° – β + β + 90° – β, звідки α + β = 180°, що й треба було довести.