Вправи: 809

809. Центр кола O, вписаного в рівносторонній трикутник ABC, сполучено відрізками з вершинами трикутника. Доведи, що трикутники OAB, OBC і OCA дорівнюють один одному. Знайди кути цих трикутників.

Дано: ∆АВС – рівносторонній і описаний навколо кола. Довести: ∆ОАВ = ∆ОВС = ∆ОСА. Знайти: кути ∆ОАВ.

Доведення

В ∆ОАВ і ∆ОВС:

1) АВ = ВС – за умовою;

2) ОА = ОС – як радіуси описаного кола;

3) ОВ – спільна сторона.

Отже, ∆ОАВ = ∆ОВС за третьою ознакою рівності трикутників.

Аналогічно доводиться, що ∆ОВС = ∆ОСА, ∆ОСА = ∆ОАВ.

За умовою ∠А = ∠В = ∠С = 60°.

Центром вписаного кола є точка перетину бісектрис трикутника.

∆АОВ: ∠ОАВ = ∠ОВА = 12 • 60° = 30°.

∠АОВ = 180° – (30° + 30°) = 120°.

Відповідь: 30°; 30°; 120°.