Вправи: 806

806. Точка дотику кола, вписаного в рівнобедрений трикутник,

ділить його бічну сторону у відношенні 3 : 2, починаючи від вершини трикутника. Знайди сторони трикутника, якщо його периметр дорівнює 28 см.

Дано: ∆АВС – рівнобедрений і описаний навколо кола; ВМ : МА = 3 : 2; Р∆ АВС = 28 см. Знайти: АВ; ВС; АС.

Розв’язання

Нехай ВМ = 3х см, МА = 2х см, тоді АВ = ВМ + МА = 3х + 2х = 5х см.

За умовою АВ = ВС; ВС = 5х см.

Центром вписаного кола є точка перетину бісектрис трикутника.

Тоді АК = АМ = 2х; РС = АМ = 2х; АК = КС = 2х.

Звідси АС = АК + КС = 2х + 2х = 4х (см).

Р∆АВС = АВ + ВС + АС;

5х + 5х + 4х = 28;

14х = 28;

х = 2. АВ = 5 • 2 = 10 (см).

ВС = 5 • 2 = 10 (см), АС = 4 • 2 = 8 (см).

Відповідь: 10 см; 10 см; 8 см.