Вправи: 811

811. Одне коло вписане в рівносторонній трикутник, друге — описане навколо того самого трикутника. Доведи, що: 1) центри цих кіл збігаються; 2) радіуси цих кіл відносяться як 1 : 2.

а) Оскільки центр кола, вписаного в рівносторонній трикутник, співпадає з точкою перетину бісектрис трикутника, а центр кола, описаного навколо рівностороннього трикутника, співпадає з точкою перетинних перпендикулярів, а серединні перпендикуляри співпадають з прямими, що містять висоти трикутника.

Оскільки висоти трикутника співпадають з бісектрисами, то точки їх перетину збігаються. Отже, центри цих кіл співпадають.

б) Оскільки OD – радіус кола, вписаного в рівносторонній трикутник, АО – радіус кола, описаного навколо рівностороннього трикутника АВС, а трикутник AOD – прямокутний з кутом OAD, що дорівнює 30°, то OD : AO = 1 : 2.