Вправи: 1049

1049. Дано два кола рівних радіусів, які дотикаються зовні. Доведи, що геометричним місцем точок, рівновіддалених від центрів кіл, є

спільна дотична цих кіл, яка проходить через точку дотику.

Нехай дано дві окружності із центром у точках O та O₁ з рівними радіусами OA і OA₁, які дотикаються зовнішнім чином. Доведемо, що ГМТ, рівновіддалених від центрів окружностей, є спільна дотична b

цих окружностей, що проходить через точку торкання — точку А. Якщо окружності мають зовнішнє дотикання, то вони мають спільну точку А, через яку проходить спільна дотична b цих окружностей. За умовою OA = OA₁, оскільки точка А — середина OO₁.

За властивістю дотичній b ⊥ OA і b ⊥ O₁A, тоді b є середнім перпендикуляром, проведеним до відрізка AB. Виберемо на дотичній b будь–яку точку C і доведемо, що OC = CO₁. ∆OCA₁ — рівнобедрений, виходить, CA — медіана й висота, отже OC = CO₁. Значить точки O та O₁ — рівновіддалені від будь–якої точки дотичній b. Доведемо, що точка дотикання єдина. Нехай існує ще одна дотична с, що проходить через точку А, тоді с ⊥ OA й c ⊥ OA₁ і через точку А проходить два перпендикуляри до OO₁, а такого бути не може, тоді така дотична єдина. Що й було потрібно довести.