Вправи: 779

779. Доведіть, що: 1) бісектриси різносторонніх кутів, утворених при перетині двох паралельних прямих січною, паралельні; 2) бісектриси односторонніх кутів, утворених при перетині двох паралельних прямих січною, перпендикулярні.

1) Нехай а ∥ b, с — січна. Нехай m — бісектриса

∠4, n — бісектриса ∠6. Доведемо, що m ∥ n.

Оскільки а ∥ b, с — січна, то

∠4 = ∠6 (як різносторонні).

∠ABK = ∠KBP = 12 ∠4; ∠NPG = ∠GPB = 12∠6.

∠KBP = ∠GPB — ці кути є різносторонніми

при прямих BK і PG та січній с, тоді BK ∥ PG.

2) Нехай а ∥ b, с — січна. ∠BCF і ∠CFK — односторонні.

CO і FO — бісектриси, доведемо, що ∠COF = 90°.

Оскільки а ∥ b, с — січна, то ∠BCF + ∠CFK = 180°

∠BCO = ∠OCF = 12 ∠BCF; ∠CFO = ∠OFK = 12 ∠CFK;

∠OCF + ∠CFO = 12∠BCF + 12∠CFK = 12 (∠BCF + ∠CFK) = 12 ∙ 180° = 90°.

Розглянемо ∆COF. ∠OCF + ∠CFO + ∠COF = 180°; 90° + ∠COF = 180°;

∠COF = 180° – 90°; ∠COF = 90°. CO ⊥ FO.