Вправи: 776

776. У трикутниках ABC і A₁B₁C₁ медіани AM і A₁M₁ рівні, AB = A₁B₁, BC = B₁C₁. Доведіть, що ∆ABC = ∆A₁B₁C₁.

Даної ∆ABC і ∆A₁B₁C₁.

AM і A₁M₁ медіани;

AM = A₁M₁; AB = A₁B₁;

BC = B₁C₁.

Довести: ∆ABC = ∆A₁B₁C₁.

Доведення: За умовою BC = B₁C₁, AM — медіана. За означенням медіани трикутника маємо: BM = MC = 12BC.

Аналогічно, якщо A₁M₁ — медіана, B₁M₁ = M₁C₁ = 12B₁C₁.

За умовою BC = B₁C₁, тоді BM = B₁M₁.

Розглянемо ∆ABM і ∆A₁B₁M₁. За умовою AB = A₁B₁; BM = B₁M₁;

AM = A₁M₁.

За III ознакою рівності трикутників маємо: ∆ABM = ∆A₁B₁M₁. Звідси

маємо: ∠ABM = ∠A₁B₁M₁.

Розглянемо ∆ABC і ∆A₁B₁C₁. AB = A1B1; BC = B₁C₁; ∠ABC = ∠A₁B₁C₁.

За I ознакою рівності трикутників маємо: ∆ABC = ∆A₁B₁C₁.

Доведено.