Вправи: 591

591. У колі із центром O через середину радіуса проведено хорду AB, перпендикулярну до нього. Доведіть, що ∠AOB = 120°.

Нехай дано коло (О; R), OC = R, т. M — середина ОС, AB – хорда, AB ⊥ ОС. Доведемо, що ∠AOB = 120°.

Розглянемо ∆AOC — рівнобедрений (AO = OC = R).

Так як AM ⊥ ОС, то AM — висота.

Так як OM = MC (т. M — середина ОС), то

AM — медіана.

Якщо в ∆AOC AM — медіана і висота, то

∆AOC — рівнобедрений з основою ОС, тоді AO = AC.

Так як AO = ОС, AO = AC, то AO = OC = AC = R i ∆AOC — рівносторонній, ∠AOC = ∠OCA = ∠CAO = 60°.

Аналогічно можна довести, що ∆COB — рівносторонній,

∠BOC = ∠OCB = ∠CBO = 60°. ∠AOB = ∠AOC + ∠COB;

∠AOB = 60° + 60° = 120°.

Відповідь: ∠AOB = 120°.