Вправи: 592

592. Знайдіть кут між радіусами OA й OB кола, якщо відстань від центра O кола до хорди AB у 2 рази менша від: 1) довжини хорди AB; 2) радіуса кола.

1) Нехай дано коло (О; R), AB — хорда, OK ⊥ AB,

OK = 12 AB. Знайдемо ∠AOB.

Розглянемо ∆AOB — рівнобедрений (AO = OB = R),

OK — висота і медіана. AK = KB = 12 AB.

Так як OK = 12AB, то KB = OK, тоді ∆OКВ

рівнобедрений з основною ОB.

Оскільки ∠OKB = 90°, то ∠KOB = ∠KBO = 45°.

В рівнобедреному ∆AOB OK — висота, медіана і бісектриса, тоді

∠AOK = ∠KOB = 45°. ∠AOB = 2 ∙ 45° = 90°.

Відповідь: ∠AOB = 90°.

2) Нехай дано коло(O; R), AB — хорда, OK ⊥ AB, OK = 12 OB.

Знайдемо ∠AOB.

Розглянемо ∆KOB (∠K = 90°), т. я. OK = 12OB, то ∠KBO = 30°, a

∠KOB = 60°.

Розглянемо ∆AOB — рівнобедрений (AO = OB = R), OK — висота, оскільки проведена до основи, то OK — бісектриса.

∠AOB = 2∠KOB; ∠AOB = 2 ∙ 60° = 120°.

Відповідь: ∠AOB = 120°.