Вправи
Вправи: 588
Готова відповідь до завдання 588 з Геометрія 7 клас Мерзляк.
Геометрія, 7 клас · Вправи
Текстова відповідь
588. Доведіть, що коли хорди кола рівновіддалені від його центра, то вони рівні.
Нехай дано коло (О; R), AB і CD — хорди,
OK ⊥ AB, OM ⊥ CD, OK = ОМ.
Доведемо, що AB = CD.
Розглянемо ∆AKO і ∆DMO.
1) AO = DO (як радіуси). 2) OK = OM (за умовою).
3) ∠AKO = ∠DMO = 90° (OK ⊥ AB, OM ⊥ CD).
Отже, ∆AKO = ∆DMO за катетом і гіпотенузою.
З цього випливає, що AK= DM.
Розглянемо ∆AOB і ∆DOC — рівнобедрені (т. я. AO = OB = OD = OC = R).
В рівнобедреному трикутнику висота, яка проведена до основи, є медіаною. Тоді OK — медіана ∆AOB, OM — медіана ∆DOC.
AK = KB (OK — медіана ∆AOB). DM = MC (ОМ — медіана ∆DOC).
AB = 2AK, CD = 2DM. Оскільки AK = DM, то AB = CD.