Вправи: 586

586. У трикутнику ABC відомо, що ∠C = 90°. Доведіть, що:

1) пряма BC є дотичною до кола із центром А, яке проходить через точку С; 2) пряма AB не є дотичною до кола із центром С, яке проходить через точку А.

1) Нехай ∆ABC даний, ∠C = 90°, коло з центром

в т. А проходить через т. С. Доведемо що BC є дотичною до кола.

Пряма BC проходить через т. C кола, відрізок AC — радіус кола. За умовою AC ⊥ BC (∠C = 90°), тоді за ознакою дотичної до кола BC є дотичною до кола.

2) Нехай ∆ABC — даний, ∠C = 90°, коло з центром в т. C проходить через точку А. Доведемо, що пряма AB не є дотичною до кола.

Пряма AB проходить через т. А кола, відрізок AC — радіус кола. Якщо б AB була дотичною до кола

в т. А, то BA ⊥ CA і ∠CAB = 90°.

Але в ∆ABC є ∠C – 90°, оскільки в трикутнику

не може бути два прямих кута, то ∠CAB ≠ 90°,

отже, AB не е дотичною до кола.