Вправи: 587

587. Доведіть, що рівні хорди кола рівновіддалені від його центра.

Нехай дано коло (О; R), AB і CD — хорди, AB = CD.

Доведемо, що відстань від хорди AB і від хорди CD до центра рівні.

Розглянемо ∆AOB і ∆DOC.

як радіуси кола1) AO = OD

2) BO = CO

3) AB = CD (за умовою).

Отже, ∆AOB = ∆DOC за III ознакою рівності трикутників.

Проведемо OK ⊥ AB і OM ⊥ CD.

∆AOB і ∆COD — рівнобедрені (AO = OB = CO = OD = R). З цього випливає, що ∠A = ∠B = ∠ C = ∠D. Розглянемо ∆AOK і ∆DOM.

1) AO = OD (як радіуси). 2) ∠A = ∠D (∆AOB = ∆DOC).

3) ∠AKO = ∠DMO = 90° (OK ⊥ AB, OM ⊥ CD).

Отже, ∆AOK = ∆DOM за гіпотенузою і гострим кутом. Тоді OK = ОМ.

OK — відстань від т. O до AB. OM — відстань від т. O до CD.