Вправи: 353

353. Відрізки AM і CK — медіани трикутника ABC. На продовженні

відрізка AM за точку M відкладено відрізок MF, а на продовженні відрізка CK за точку K — відрізок KD так, що MF = AM, KD = CK. Доведіть, що точки В, D і F лежать на одній прямій.

Доведення:

Нехай дано ∆ABC, AM — медіана,

CK — медіана, AM = MF, CK = KD за побудовою.

Розглянемо ∆AMC і ∆FMB.

1) AM = MF (за побудовою);

2) BM = MC (AM — медіана);

3) ∠AMC = ∠FMB (як вертикальні).

Отже, ∆AMC = ∆FMB за І ознакою рівності трикутників, з цього випливає, що ∠MAC = ∠MFB.

∠MAC і ∠MFB — різносторонні при прямих AC і BF та січній AF. Тоді

за ознакою паралельності прямих AC ∥ BF.

Розглянемо ∆AKC і ∆BKD.

1) AK = BK (CK — медіана); 2) CK = KD (за побудовою);

3) ∠AKC = ∠BKD (як вертикальні).

Отже, ∆AKC = ∆BKD за І ознакою рівності трикутників, з цього випливає, що ∠BDK = ∠ACD.

∠BDK і ∠ACX — різносторонні при прямих AC і BD та січній DC. Тоді

за ознакою паралельності прямих AC ∥ BD.

Оскільки BF ∥ AC і BD ∥ AC, то точки В, F, D лежать на одній прямій.