Вправи: 352

352. Пряма перетинає бісектрису BM трикутника ABC у точці О, яка є серединою відрізка BM, а сторону BC — у точці К. Доведіть, що коли OK ⊥ BM, то M K ∥ AB.

Доведення:

Нехай дано ∆АВС, BM — бісектриса ∠ABC,

т. O — середина BM, PK ⊥ BM, доведемо, що MK ∥ AB.

Розглянемо ∆BPM.

PO — медіана (так як BO = ОМ), PO — висота (PK ⊥ BM). Так як медіана трикутника є висотою, то ∆BPM — рівнобедрений (BP = PM). Розглянемо ∆BPK — рівнобедрений, так як бісектриса BO є висотою, тоді BP = BK. Розглянемо ∆BPM і ∆ВКМ.

1) BP = BK (∆BPK — рівнобедрений);

2) ∠PBM = ∠KBM (BM — бісектриса ∠B);

3) BM — спільна.

Отже, ∆BPM = ∆BKM за І ознакою рівності трикутників, з цього випливає, що ∠BMP = ∠BMK, BP = PM = MK = KB.

Розглянемо ∆BPO і ∆MKO.

1) BO = OM (т. O — середина BM);

2) ∠POB = ∠KOM = 90° (PK ⊥ BM);

3) ∠PBO = ∠KMO.

Отже, ∆BPO = ∆MKO за II ознакою рівності трикутників, тоді

∠BPO = ∠MKO. Ці кути є різносторонніми при прямих BP і MK та січній PK, так як ∠BPO = ∠MKO, то за ознакою паралельності прямих BP ∥ MK, або AB ∥ MK.