Вправи: 258

258. Бісектриси AM і CK кутів при основі AC рівнобедреного трикутника ABC перетинаються в точці О. Доведіть, що трикутник AOC рівнобедрений.

Доведення: Нехай ∆ABC — рівнобедрений, AB = BC, AM — бісектриса ∠A, CK — бісектриса ∠C, т. O — точка перетину бісектрис AM і CK.

Оскільки ∆ABC — рівнобедрений, то ∠A = ∠C.

∠BAM = ∠MAC = 12 ∠A (AM — бісектриса ∠A).

∠BCK = ∠KCA = 12 ∠C (СK — бісектриса ∠C).

Т. я. ∠A = ∠C, то ∠MAC = ∠KCA, тоді ∆АОС — рівнобедрений.