Вправи: 687

687. Точка O — точка перетину серединних перпендикулярів сторін AC і BC трикутника ABC — належить його стороні AB. Доведіть, що: 1) точка O — середина відрізка AB; 2) ∠ACB = ∠A + ∠B.

Дано: ∆АВС; n — серединний перпендикуляр

до сторони AC; E — середина AC; k — серединний

перпендикуляр до CB, P — середина BC; k п – О.

O ∈ AB.

Довести: 1) O — середина AB.

Доведення: За умовою k — серединний перпендикуляр до сторони BC і n — серединний перпендикуляр до сторони AC.

За умовою k n = О.

O — центр описаного кола, тобто серединний перпендикуляр до сторони BA проходить через точку О. Отже, O — середина BA.

Доведено.

Довести: 2) ∠ACB = ∠A + ∠B.

Доведення: Як відомо, центр описаного кола навколо прямокутного трикутника належить гіпотенузі, тобто, якщо O ∈ AB, тоді AB — гіпотенуза.

Звідси маємо: ∆АВС — прямокутний; ∠ACB = 90°. За властивістю гострих кутів прямокутного трикутника маємо: ∠A + ∠B = 90°.

Тобто, ∠ACB = ∠A + ∠B.

Доведено.