Вправи: 678

678. У гострокутних трикутниках ABC і A₁B₁C₁ проведено

висоти BD і B₁D₁ відповідно. Доведіть, що ∆ABC = ∆A₁B₁C₁,

якщо BD = B₁D₁, AD = A₁D₁, CD = C₁D₁.

Дано: ∆ABC і ∆A₁B₁C₁. BD — висота (BD ⊥ AC). B₁D₁ — висота

(B₁D₁ ⊥ A₁C₁). BD = B₁D₁; AD = A₁D₁; DC = D₁C₁.

Довести: ∆ABC = ∆A₁B₁C₁.

Доведення: За умовою

BD — висота (BD ⊥ AC), тоді ∠ADB = ∠CDB = 90°.

Аналогічно B₁D₁ ⊥ A₁C₁; ∠B₁D₁A₁ = ∠B₁D₁C₁ = 90°.

Розглянемо ∆ADB і ∆A₁D₁B₁ — прямокутні. AD = A₁D₁; BD = B₁D₁.

За ознакою рівності прямокутних трикутників маємо: ∆ADB =

= ∆A₁D₁B₁ звідси маємо: AB = A₁B₁ та ∠A = ∠A₁.

Розглянемо ∆BDC та ∆B₁D₁C₁ — прямокутні. BD = B₁D₁; DC = D₁C₁.

За ознакою рівності прямокутних трикутників маємо

∆BDC = ∆B₁D₁C₁. Звідси BC = B₁C₁; ∠C = ∠C₁.

Розглянемо ∆ABC і ∆A₁B₁C₁.

AB = A₁B₁; BC = B₁C₁. За аксіомою вимірювання відрізків маємо:

AC = AD + DC, тоді якщо A₁C₁ = A ₁D₁ + D₁C₁, отже, AC = A ₁C₁.

За III ознакою рівності трикутників маємо: ∆ABC і ∆A₁B₁C₁.

Доведено.