Вправи: 680

680. У трикутниках ABC і DEF відомо, що AC = DF, BC = EF, ∠С = ∠F. Бісектриси кутів ВАС і ABC перетинаються в точці О, а бісектриси кутів DEF і EDF — у точці М. Доведіть, що ∆AOB = ∆DME.

Дано: ∆ABC і ∆DEF. AC = DF; BC = EF; ∠C = ∠F.

AP — бісектриса ∠BAC;

BN — бісектриса ∠ABC; BN AP = O;

EK — бісектриса ∠DEF.

DX — бісектриса ∠EDF. DX EK = М.

Довести: ∆AOB = ∆DME.

Доведення: Розглянемо ∆ABC і ∆DEF.

За умовою AC = DF; BC = EF; ∠C = ∠F.

За І ознакою рівності трикутників маємо; ∆ABC = ∆DEF. Звідси маємо

AB = DE, ∠BAC = ∠EDK, ∠ABC = ∠DEF.

За умовою AP — бісектриса ∠BAC. За означенням бісектриси кута маємо: ∠BAO = ∠OAN = 12 ∠BAC.

Аналогічно AX — бісектриса ∠EDF. Звідси маємо:

∠EDM = ∠MDK = 12 ∠EDF. Отже, ∠BAO = ∠EDM.

BN — бісектриса ∠ABC, тоді ∠ABO = ∠OBC = 12 ∠ABC.

EK — бісектриса ∠DEF, тоді ∠DEM = ∠MEF. Отже, ∠ABO = ∠DEM.

Розглянемо ∆ABO і ∆DEM. AB = DE; ∠ABO = ∠DEM; ∠BAO = ∠EDM.

За II ознакою рівності трикутників маємо: ∆AOB = ∆DME. Доведено.