Вправи: 677

677. У трикутниках ABC і DEF проведено медіани BM і EK відповідно. Відомо, що BC = EF, ∠ABC = ∠DEF, ∠С = ∠F. Доведіть, що: 1) ∆BMC = ∆EFK; 2) ∆ABM = ∆DEK.

Дано: ∆ABC і ∆DEF.

BM і EK — медіани.

BC = EF; ∠C = ∠F. ∠ABC = ∠DEF.

Довести: 1) ∆BMC = ∆EFK.

Доведення: Розглянемо ∆ABC і ∆DEF. За умовою ∠ABC = ∠DEF,

∠C = ∠F та CB = FF. За II ознакою рівності трикутників маємо:

∆ABC = ∆DEF. Звідси маємо: AC = DF.

За умовою BM — медіана. За означенням медіани маємо: AM = MC.

Аналогічно EK — медіана, тоді DK = KF. Отже, AM = MC = DK = KF.

Розглянемо ∆BMC і ∆EKF.

BC = EF, MC = KF; ∠C = ∠F. Отже, за І ознакою рівності трикутників

маємо: ∆BMC = ∆EKF; ∆BMC ≠ ∆EFK.

Доведено.

Довести: 2) ∆ABM = ∆DEK.

Доведення: Як довели раніше ∆ABC = ∆DEF. Звідси маємо: AB = DE;

∠A = ∠D. Розглянемо ∆ABM і ∆DEK. AB = DE; AM = DK; ∠A = ∠D.

За І ознакою рівності трикутників маємо: ∆ABM = ∆DEK.

Доведено.