Вправи: 566

566. Кожний із кутів ВАС і ACB трикутника ABC поділено на три рівні частини (рис. 309). Доведіть, що ∠AMN = ∠CMN.

Дано: ∆АВС. ∠BAC поділено на три рівні

кути, ∠BCA поділено на три рівні кути.

Довести: ∠AMN = ∠CMN.

Доведення: Розглянемо ∆AMC.

AN — бісектриса ∠MAC,

CN — бісектриса ∠MCA.

Отже, N — центр кола, вписаного у ∆АМС.

E, F — точки дотику вписаного кола зі сторонами AM і MC.

За властивістю дотичних, проведених до кола, маємо: NE ⊥ MC,

NF ⊥ AM.

Розглянемо ∆MNE і ∆NFM — прямокутні.

∠NFM = ∠NEM = 90°, FN = EN — радіуси вписаного кола, MN — спільна сторона.

Отже, ∆NFM = ∆NEM (за ознакою рівності прямокутних трикутників).

Звідси маємо: ∠FMN = ∠EMN, тобто ∠AMN = ∠CMN. Доведено.