Вправи: 563

563. До кола, вписаного в рівносторонній трикутник зі стороною

а, проведено дотичну, яка перетинає дві сторони трикутника. Знайдіть периметр трикутника, який ця дотична відтинає від даного.

Даної ∆АВС — рівносторонній, AB = а, O — центр вписаного кола. MN — дотична до кола.

Знайти: Р∆_NBM.

Розв'язання: O — центр вписаного кола.

За властивістю дотичних до кола маємо:

OE ⊥ NM, OP ⊥ AB. O — центр вписаного кола, CP — бісектриса, медіана.

Отже, AP = PB = 12 AB; AP = PB = a2.

NO — бісектриса ∠POE; ∠PON = ∠NOE = ∠POE : 2.

AO — бісектриса. ∠PAO = ∠FAO = 60° : 2 = 30°.

∠APO = 90° – 30° = 60°; ∠AOF = 60°; ∠POF = 60° + 60° = 120°;

∠POE = 180° – 120° = 60° (∠FOP і ∠POE — суміжні).

∠PON = ∠NOE = 60° : 2 = 30°.

∆NEO — прямокутний (∠E = 90°), ∠NOE = 90°.

За властивістю катета, який лежить навпроти кута 30° маємо:

NE = 12 NO).

За властивістю дотичних, проведених до кола з однієї точки, маємо:

PN = NE = 12NO.

Розглянемо ∆ONB — рівнобедрений (ON = NB). ∠EON = ∠NBE = 30°;

NO = NB.

Нехай NE = NP = x, тоді NB = 2x; PB = PN + NB; PB = х + 2х = Зх.

PB = a2; 3x = a2; x = a6; 2x = a3. ∆NBM — рівносторонній.

P∆_NBM = 3 ∙ NB = 3 ∙ 2x = 3 ∙ a3 = a.

Відповідь: а.