Вправи: 564

564. У рівнобедрений трикутник ABC (AB = BC) з основою 10 см вписано коло. До цього кола проведено три дотичні, які відтинають від даного трикутника трикутники ADK, BEF і CMN. Сума периметрів утворених трикутників дорівнює 42 см. Чому дорівнює бічна сторона даного трикутника?

Дано:∆ABC — рівнобедрений, AB = BC.

O — центр вписаного кола, AC = 10 см.

P∆_ADK + P∆_NMC + P∆_EBF = 42 см.

Знайти: AB.

Розв'язання: За властивістю дотичних,

проведених до кола з однієї точки, маємо:

KP = KX, XN = NL, LM = MY, YF = FR,

RE = EZ, ZD = DP.

KN = KX + XN, NM = NL + LM, MF = MY + YE, FE = FR + RE,

DE = DZ + ZD, DK = DP + РK. Звідси маємо:

KN + FM + ED = NM + FE + ZK.

AB + BC + AC = (AD + DE + EB) + (BF + FM + MC) + (AK + KN +

+ NC) = (BE + BF) + (CM + CN) + (AK + AD) + (DE + FM + KN) =

= (BE + BF) + (CM + CN) + (AK + AD) + (ZK + FE + NM) = (BE +

+ BF + EF) + (CM + CN + MN) + (AK + AD + DK) = P∆_ADK + P∆_NMC +

+ P∆_NMC = 42 см.

AC = 10 см, 2AB + 10 = 42; 2AB = 42 – 10 = 32; AC = 16 см.

Відповідь: 16 см.