Вправи: 556

556. Доведіть, що коли центри вписаного й описаного кіл трикутника збігаються, то цей трикутник рівносторонній.

Дано: ∆ABC, O — центр вписаного і описаного кола.

Довести: ∆ABC — рівносторонній.

Доведення: Якщо O — центр описаного кола, тоді O — точка перетину серединних перпендикулярів, BN — серединний перпендикуляр. Якщо O — центр вписаного кола, тоді O — точка перетину бісектрис, BN — бісектриса.

Аналогічно: AK — бісектриса, висота, медіана. CE — бісектриса, висота, медіана. Отже, за властивістю рівностороннього трикутника маємо: ∆ABC — рівносторонній. Доведено.