Вправи: 558

558. Периметр трикутника ABC, описаного навколо кола, дорівнює 52 см. Точка дотику кола до сторони AB ділить цю сторону у відношенні 2 : 3 , рахуючи від вершини А. Точка дотику до сторони BC віддалена від вершини C на 6 см. Знайдіть сторони трикутника.

Дано: Коло вписане у ∆АВС. N, E, F — точки

дотику. P∆_ABC = 52 см. AN : NB = 2 : 3. EC = 6 см.

Знайти: АB, BС, AC.

Розв'язання: За умовою AN : NB = 2 : 3, тоді

AN = 2х (см), NB = Зх (см).

За властивістю дотичних, проведених до кола з однієї точки, маємо: AN = AF = 2х (см), NB = BE = Зх (см),

EC = FC = 6 см.

За аксіомою вимірювання відрізків маємо:

АB = AN + NВ; АB = 2х + Зх = 5х (см).

BС = BE + EC; BС = Зх + 6 (см); AC = AF + FC; AC = 2х + 6 (см).

P = AB + BC + AC.

Складемо і розв’яжемо рівняння: 5х + Зх + 6 + 2х + 6 = 52;

10x + 12 = 52; 10x = 51 – 12; 10x = 40; х = 40 : 10; х = 4.

AB = 5 ∙ 4 = 20 (см); BC = 3 ∙ 4 + 6 – 18 (см); AC = 2 ∙ 4 + 6=14(см).

Відповідь: 20 см, 18 см, 14 см.