Вправи: 557

557. Точка дотику вписаного кола рівнобедреного трикутника

ділить його бічну сторону у відношенні 7 : 5, рахуючи від вершини рівнобедреного трикутника. Знайдіть сторони трикутника, якщо його периметр дорівнює 68 см.

Дано: O — центр вписаного у ∆АВС. ∆ABC —

рівнобедрений, AB = BC. N, K, P — точки дотику.

BK : KC = 7 : 5. P∆_ABC = 68 см.

Знайти: AB, BC, AC.

Розв'язання: За умовою BK : KC = 7 : 5, тоді

BK = 7x (см), KC = 5х (см).

За властивістю дотичних до кола, проведених з однієї точки, маємо:

BK = BN = 7x (см), KC = PC = 5х (см).

За аксіомою вимірювання відрізків маємо:

BC = BK + KC = 7х + 5х = 12х (см).

AB = BC = 12х (см). P — середина відрізка AC, PC = A P = 5х (см).

AC = PC + АР; AC = 5х + 5х = 10x (см).

P∆_ABC = AB + BC + AC; 12х + 12х + 10x = 68; 34х = 68; х = 2.

AB = BС = 12 ∙ 2 = 24 (см); AC = 10 ∙ 2 = 20 (см).

Відповідь: 24 см, 24 см, 20 см.