Вправи: 549

549. На рисунку 306 у трикутники ABD і CBD вписано кола із центрами O₁ і O₂ відповідно. Доведіть, що кут O₁DO₂ прямий.

Дано: O₁ — центр кола, вписаного у ∆ABD. O₂ — центр кола, вписаного у ∆BDC.

Довести: ∠O₁DO₂ = 90°.

Доведення: Центр кола, вписаного в трикутник, знаходиться у точці

перетину бісектрис. Отже, якщо O₁ — центр кола, вписаного у ∆ADB, тоді O₁D — бісектриса ∠ADB. ∠O₁DB = 12 ∠ADB.

Аналогічно O₂ — центр кола, вписаного у ∆DBC. O₂D — бісектриса

∠BDC. ∠BDO2= 12 ∠BDC.

∠ADB і ∠BDC — суміжні. За теоремою про суміжні кути маємо:

∠ADB + ∠BDC = 180°. 12 ∠ADB + 12 ∠BDC = 12 ∙ 180°;

∠O₁DB + ∠BDO₂ = 90°; ∠O₁DO₂ = 90°. Доведено.