Вправи: 469

469. У трикутнику ABC відомо, що ∠C = 90°, ∠B = 30°. Серединний

перпендикуляр відрізка AB перетинає його в точці М, а відрізок BC — у точці К. Доведіть, що MK = 13 BC.

Нехай ∆ABC — прямокутний (∠C = 90°), ∠B = 30°,

MK — серединний перпендикуляр до сторони AB.

Доведемо, що MK = 13BC .

Розглянемо ∆ABC (∠C = 90°).

Оскільки ∠B = 30°, то AC = 12AB. MK — серединний перпендикуляр до AB, тобто BM = MA = 12AB і MK ⊥ AB. Так як AC = 12AB і BM = 12AB, то AC = BM = MA.

Проведемо AK і розглянемо ∆AMK і ∆АСK: 1) ∠AMK = ∠ACK = 90°

(за умовою); 2) AK — спільна; 3) AM = AC (із попереднього).

Отже, ∆AMK = ∆ACK за катетом і гіпотенузою, тоді MK = KС.

Нехай MK = KС = х.

Розглянемо ∆BMK (∠M = 90°): ∠B = 30°, тоді MK = 12ВК;

ВK = 2 ∙ МK = 2х. Так як т. K належить відрізку BC, то BC = BK + KC;

BC = 2х + х = Зх; MK = х. Отже, МK = 13BC.