Вправи: 471

471. У трикутнику ABC відомо, що ∠C = 90°, ∠BAC = 60°, відрізок AD — бісектриса, відрізок CD на 3 см менший від відрізка BD. Знайдіть бісектрису AD.

Нехай даний ∆ABC, ∠C = 90°, ∠BAC = 60°, AD — бісектриса, CD менше ніж BD на 3 см. Знайдемо AD.

Оскільки AD — бісектриса ∠CAB, то: ∠CAD = ∠DAB = 12∠ CAB = 60° :

: 2 = 30°.

Розглянемо ∆ABC (∠C = 90°):

∠CAB + ∠B = 90°; ∠B = 90° – 60° = 30°.

Розглянемо ∆ADB: ∠B = 30°, ∠DAB = 30°,

тоді ∆ADB — рівнобедрений AD = DB.

Нехай CD = х (см), тоді DB = х + З (см).

Розглянемо ∆ACD (∠C = 90°): CD — катет, що лежить напроти

∠CAD = 30°, тоді CD = 12AD; AD = 2 CD, AD = 2х (см).

Оскільки AD = DB, то DB = 2х (см).

Але DB = х + 3 (см); 2х = х + 3; х = 3. AD = 2 ∙ 3 = 6 см.

Відповідь: AD = 6 см.