Вправи: 468

468. Бісектриси AM і BK рівностороннього трикутника ABC перетинаються в точці О. Доведіть, що AO : OM = 2 : 1.

Доведення:

Нехай ∆ABC — рівносторонній, AM і BK — бісектриси, перетинаються в т. О. Доведемо, що AO : OM = 2 : 1.

В ∆ABC ∠A = ∠B = ∠C = 60°.

∠ABK = ∠KBC = 12∠B = 60°: 2 = 30° (BK – бісектриса ∠B).

∠BAM = ∠MAC = 12 ∠A = 60°: 2 = 30° (AM — бісектриса ∠A).

В ∆ABC рівносторонньому бісектриса є висотою. AM ⊥ BC, BK ⊥ AC.

Розглянемо ∆BOM (∠M = 90°, AM ⊥ BC).

Нехай OM = x, тоді OB = 2 ∙ OM = 2х (оскільки ∠OBM = 30°).

Розглянемо ∆АОВ:

∠BAO = ∠ABO = 30°, тоді ∆AOB — рівнобедрений з основою AB.

Отже, AO = BO = 2х.

AO : OM = 2x : x = 2 : 1.