Вправи: 473

473. Через вершини А і В трикутника ABC проведено прямі, які перпендикулярні до бісектриси кута ACB та перетинають прямі BC і AC у точках M i K відповідно. Знайдіть периметр трикутника ABC,

якщо AC > BC, CM = 6 см, BK = 2 см, AB = 7 см.

Нехай даний ∆ABC, CF — бісектриса ∠ACB, AC > AB,

BM ⊥ CF, AK ⊥ CF, CM = 6 см, BK = 2 см, AB = 7 см.

Знайдемо P∆_ABC.

P∆_ABC = AB + BC + AC. Розглянемо ∆MCB:

CP — бісектриса ∠ACB, CP ⊥ BM, тоді

CP — висота, отже, ∆MCB — рівнобедрений з основою BM. CM = CB = 6 см. Розглянемо ∆ACK — рівнобедрений, так як бісектриса CN збігається з висотою CN (CN ⊥ AK), тоді

AC = CK. CK = CB + BK; CK = 6 см + 2 см = 8 см. AC = 8 см. P∆_ABC = 7 + 6 + 8 = 21 см.

Відповідь: P∆_АВС = 21 см.