Вправи: 182

182. На рисунку 147 прямі m і n — серединні перпендикуляри

сторін AB і AC трикутника ABC. Доведіть, що точка O рівновіддалена від усіх вершин даного трикутника.

Доведення: Нехай ΔABC дано за умовою, т. N – середина сторони AC, т. M — середина сторони AВ.

Розглянемо ΔAON і ΔCON.

1) AN = NC (т. N — середина AC);

2) ∠ONA = ∠ONC = 90° (ON ⊥ AC);

3) ON — спільна.

Отже, ΔAON = ΔCON за І ознакою, тоді

AO = ОС.

Розглянемо ΔAOM і ΔBOM.

1) AM = MS (т. M — середина AB); 2) ∠OMA = ∠OMB = 90° (ОМ ⊥ AB);

3) OM — спільна. Отже, ΔAOM = ΔBOM за І ознакою, тоді AO = OB.

Так як AO = OC і AO = OB, то AO = OB = ОС.