Вправи: 332

332. а) Одне із цілих чисел при діленні на 6 дає в остачі 2, а інше — в остачі 3. Доведіть, що добуток цих чисел ділиться на 6 без остачі.

б) Числа a, b і c при діленні на 4 дають в остачі відповідно 1, 2 і 3. Доведіть, що число abc + 2 ділиться на 4 без остачі.

а) Одне з цілих чисел m = 6k + 2, друге число n = 6l + 3, їх добуток (6k + 2)(6l + 3) = 36kl + 18k + 12l + 6 (k, l — цілі числа). Оскільки кожен доданок ділиться без остачі на 6, то їх сума ділиться без остачі на 6. Отже, добуток даних цілих чисел ділиться без остачі на 6.

б) a = 4k + 1, b = 4l + 2, c = 4q + 3 (k, l, q — цілі числа), добуток цих чисел дорівнює (4k + l)(4l + 2)(4а + 3) = (16kl + 8k + 4l + 2)(4q + 3) = 64klq + 32kq + 16lq + 8q + 48kl + 24k + 12l + 6 = 64klq + 32 kq + 16lq + 48kl + 8q + 12l + 24k + 6.

Число abc + 2 — це 64klq + 32kq + 16lq + 48kl + 8q + 12l + 24k + 8. Кожен доданок націло ділиться на 4, тому і abc + 2 націло ділиться на 4.